Brown Bewegung Gleitender Durchschnitt

MetaTrader Expert Advisor Dekalog Blog ist eine interessante Seite, wo der Autor, Dekalog, versucht, neue und einzigartige Wege zu entwickeln, um quantitative Analyse zum Handel anzuwenden. In einer neuen Post, diskutierte er mit dem Konzept der Brownian Motion in einer Weise, die Bands um ein Chart8217s Schlusskurse schaffen würde. Diese Bands würden nicht-Trending-Perioden darstellen, und ein Trader könnte sich jederzeit identifizieren, wenn der Preis außerhalb der Bands als Trending-Periode war. Dekalog8217s Methode der Verwendung von Brownian Motion schafft obere und untere Bänder, die Trending Bedingungen definieren. An der Wurzel der meisten jeden Trend nach Handelssystem ist ein Weg, um eine Trends Existenz zu definieren und bestimmen ihre Richtung. Mit Dekalog8217s Brownian Motion Idee als die Wurzel eines Systems könnte eine einzigartige Möglichkeit, Trends zu identifizieren und zu gewinnen Gewinne aus Märkten durch diese Trends. Hier ist, wie Dekalog sein Konzept erklärt: Die Grundvoraussetzung, die von der Brownschen Bewegung genommen wurde, ist, dass das natürliche Protokoll der Preisveränderungen im Durchschnitt mit einer Rate proportional zur Quadratwurzel der Zeit ist. Nehmen wir zum Beispiel eine Periode von 5, die bis zu der 8220Current Bar führt.8221 Wenn wir einen 5 Perioden einfachen gleitenden Durchschnitt der absoluten Unterschiede des Logs der Preise über diesen Zeitraum nehmen, erhalten wir einen Wert für die durchschnittliche 1 bar Preisbewegung Über diesen Zeitraum. Dieser Wert wird dann mit der Quadratwurzel von 5 multipliziert und hinzugefügt und subtrahiert aus dem Preis vor 5 Tagen, um eine obere und untere Grenze für die aktuelle Bar zu erhalten. Dann wendet er diese obere und untere Schranke an die Tabelle an: Wenn die aktuelle Bar zwischen den Grenzen liegt, sagen wir, dass die Preisbewegung in den letzten 5 Perioden mit der Brownschen Bewegung übereinstimmt und eine Abwesenheit von Trend, d. h. einen seitlichen Markt, erklärt. Wenn die aktuelle Bar außerhalb der Grenzen liegt, erklären wir, dass die Preisbewegung über die letzten 5 Takte nicht mit der Brown'schen Bewegung übereinstimmt und dass ein Trend in Kraft ist, entweder nach oben oder unten, je nachdem, welche Bindung der aktuelle Bar ist. Dekalog glaubt auch, dass dieses Konzept einen Wert haben könnte, der nur ein Indikator ist: Es ist leicht, sich viele Gebrauch hierzu in Bezug auf die Indikator-Schöpfung vorzustellen, aber ich beabsichtige, die Grenzen zu verwenden, um eine Punktzahl von Preis zufälligen Aufstrich über verschiedene kombinierte Perioden zuzuordnen, um Preis zuzuordnen Bewegung zu Bins für nachfolgende Monte Carlo Schaffung von synthetischen Preis-Serie. Brownian Motion und der Forex-Markt Von Armando Rodriguez Es wäre nicht ein erster, dass eine Formulierung für Phänomene in einem Feld entwickelt wurde erfolgreich in einem anderen verwendet, hat es sogar einen Namen, und es Heißt Analogie. Es gibt viele Beispiele für Analogien die Formulierung zu lösen statische mechanische Strukturen ist die gleiche wie die, die verwendet, um elektrische Netzwerke Nachrichten diffus als Tinte in noch Wasser und so viele andere zu lösen. Hier stellen wir die Analogie der FOREX-Marktpreisänderungen an der Brown'schen Bewegung fest. Auch Analogien sind nicht nur für den Genuss der Symmetrie der Natur, sondern meist nach einigen praktischen Zweck. In diesem Fall wollen wir wissen, wann ein Handelsalgorithmus nicht wahrscheinlich ist, zu profitieren und so sollte der Handel in die Warteschleife gestellt werden. Die Brown'sche Bewegung Brown'sche Bewegung (benannt nach Ehren des Botanikers Robert Brown) bezieht sich ursprünglich auf die zufällige Bewegung, die unter dem Mikroskop des in Wasser eingetauchten Pollens beobachtet wurde. Das war rätselhaft, weil Pollenteilchen in vollkommenem Wasser suspendiert waren, hatte kein offensichtlicher Grund, alles zu bewegen. Einstein wies darauf hin, dass diese Bewegung durch die zufällige Bombardierung von (wärmeerregten) Wassermolekülen auf dem Pollen verursacht wurde. Es war nur das Ergebnis der molekularen Natur der Materie. Moderne Theorie nennt es einen stochastischen Prozess und es wurde bewiesen, dass es auf die Bewegung ein zufälliger Wanderer reduziert werden kann. Ein eindimensionaler zufälliger Wanderer ist einer, der so wahrscheinlich ist, einen Schritt vorwärts zu nehmen, wie rückwärts, sagen X-Achse, zu irgendeiner gegebenen Zeit. Ein bidimentional zufälliger Wanderer macht das gleiche in X oder Y (siehe Abbildung). Die Aktienkurse ändern sich leicht bei jeder Transaktion, ein Kauf wird seinen Wert erhöhen ein Verkauf wird es verringern. Vorbehaltlich Tausenden von Kauf - und Verkaufsgeschäften sollten Aktienkurse eine eindimensionale Brownsche Bewegung zeigen. Dies war das Thema der Louis Bachelier Dissertation im Jahr 1900, die Theorie der Spekulation. Es präsentierte eine stochastische Analyse der Aktien - und Optionsmärkte. Die Wechselkursraten sollten sich sehr gut verhalten als ein Pollenteilchen in Wasser. Brownian Spectrum Eine interessante Eigenschaft der Brown'schen Bewegung ist ihr Spektrum. Jede periodische Funktion in der Zeit kann als die Summe einer unendlichen Reihe von Sinecosin-Funktionen von Frequenzen multipliziert werden, um die Umkehrung der Periode. Das nennt man die Fourier-Serie. Das Konzept kann weiter auf nicht periodische Funktionen erweitert werden, so dass die Periode unendlich geht, und das wäre das Fourier-Integral. Anstelle einer Folge von Amplituden für jede Mehrfachfrequenz handelt es sich um eine Funktion der Frequenz, diese Funktion heißt Spektrum. Die Signaldarstellung im Frequenzraum ist die gemeinsame Sprache in der Informationsübertragung, Modulation und Rauschen. Grafik-Equalizer, auch in der Home-Audio-Ausrüstung oder PC-Audio-Programm enthalten, haben das Konzept aus der Wissenschaft Gemeinschaft in den Haushalt präsentiert präsentieren in jedem nützlichen Signal ist Lärm. Dies sind unerwünschte Signale, zufällig in der Natur, aus verschiedenen physischen Ursprüngen. Das Spektrum des Lärms bezieht sich auf seinen Ursprung: Das J ohnsonNyquist-Rauschen (thermisches Rauschen, Johnson-Rauschen oder Nyquist-Rauschen) ist das elektronische Rauschen, das durch das thermische Rühren der Ladungsträger (üblicherweise der Elektronen) innerhalb eines elektrischen Leiters im Gleichgewicht erzeugt wird Geschieht unabhängig von jeder angelegten Spannung. Thermisches Rauschen ist etwa weiß. Dass die Leistungsspektraldichte im gesamten Frequenzspektrum gleich ist. Flimmergeräusch ist eine Art von elektronischem Rauschen mit einem 1f oder rosa Spektrum. Es wird daher oft als 1f Rauschen oder rosa Rauschen bezeichnet. Obwohl diese Begriffe umfassendere Definitionen haben. Es kommt in fast allen elektronischen Geräten vor. Und resultiert aus einer Vielzahl von Effekten, wie etwa Verunreinigungen in einem leitfähigen Kanal, Erzeugungs - und Rekombinationsrauschen in einem Transistor aufgrund eines Basisstroms und so weiter. Schließlich ist das Brown-Rauschen oder das rote Rauschen die Art von Signalgeräuschen, die von Brown'sche Bewegung erzeugt werden. Seine spektrale Dichte ist proportional zu 1f 2. bedeutet, dass es mehr Energie bei niedrigeren Frequenzen hat, noch mehr als rosa Rauschen. Die Bedeutung dieser Diskussion ist, dass, wenn Sie das Spektrum des FOREX-Rate-Signals berechnen, es passiert, eine 1f 2 Abhängigkeit zu haben, was bedeutet, dass auch Brownian in der Natur ist. Verhalten in der Zeit Das Verhalten des FOREX-Marktes in Abwesenheit von Ereignissen verhält sich auch perfekt Brownian. Das heißt, dass sich die FOREX-Raten wie unidimensionale zufällige Wanderer verhalten. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, einen zufälligen Wanderer an Position x nach einer Zeit t zu finden, folgt dem Gaußschen Gesetz. Wo s ist die Standardabweichung, die für einen zufälligen Wanderer ist eine Funktion der Quadratwurzel von t und das ist, was die FOREX-Raten folgen, um experimentelle Perfektion wie unten gezeigt für EURUSD Zitate in Abbildung 1. Ein analytischer Ausdruck für die obige Figur mit Raten in Pips und t in Minuten von einem Anfangszeitpunkt t 0: Im Durchschnitt gibt es 45 EURUSD-Zitate in einer Minute, so dass der obige Ausdruck in Bezug auf das N-te Zitat nach einer anfänglichen Zeit gesetzt werden kann. Drift und zufällige Bewegungen Die Bewegung von Pollenteilchen kann gesagt werden, dass sie zwei Komponenten haben, eine zufällige in der Natur beschriebene, aber wenn die Flüssigkeit einen Fluss in eine Richtung hat, dann wird eine Driftbewegung dem Brownschen überlagert. Der FOREX-Markt präsentiert beide Arten von Bewegungen, eine höhere Frequenz zufällige Komponente und eine langsamere Driftbewegungen, die durch Nachrichten verursacht werden, die die Preise beeinflussen. Zufällige Bewegung ist schlecht für die Spekulation Geschäft gibt es keine Möglichkeit, einen Gewinn auf einem perfekt zufälligen Markt zu durchschnittlich. Nur Driftbewegung kann Gewinne erzielen. Die Marktzufälligkeit ist in der Zeit nicht konstant und auch keine Driftbewegung. Während der News-Events sind Drift-Bewegungen groß und es ist während der Ereignisse, die Gewinne gemacht werden können, aber es gibt sauberere Ereignisse, in denen automatische Algorithmen das Beste und es gibt schmutzige, mit viel Zufälligkeit, die den klügsten Algorithmus in fahren können Verlieren FOREX-Marktwährung Paar-Temperatur In einem physikalischen System kann die Intensität der Brownschen Bewegung eines Teilchens als das durchschnittliche Quadrat seiner zufälligen Geschwindigkeit genommen werden, und dies ist proportional zur Temperatur und umgekehrt zur Teilchenmasse. LtVrdm 2 gt 3KTm Die zufällige Geschwindigkeit ist die Differenz der Gesamtgeschwindigkeit minus der Mittel - oder Driftgeschwindigkeit. Der wahre Sinn für eine Driftgeschwindigkeit wäre die durchschnittliche Geschwindigkeit einer großen Anzahl von Teilchen zu gegebener Zeit, die darauf hindeuten würde, dass sich der ganze Körper von flüssigen und suspendierten Teilchen als Ganzes bewegt. Da aber die zufällige Geschwindigkeit in der Zeit auf Null liegen muss, ist auch der Mittelwert der Geschwindigkeit eines einzelnen Teilchens in der Zeit gleich der Driftgeschwindigkeit. In der FOREX-Marktanalyse ist die Währungspaarrate die Teilchen eindimensionale Position und so ist die Geschwindigkeit zu jeder Zeit t die Zitatbewegung seit dem letzten Zitat zum Zeitpunkt t 0 dividiert durch das Zeitintervall. Die durchschnittliche Geschwindigkeit wäre der exponentielle gleitende Durchschnitt der Zitate. Die Temperatur des Währungspaares Tcp wäre dann: Tcp (m3K) ltVrdm 2 gt Die Masse eines Währungspaares ist eine Größe, die definiert werden soll, also hat die Boltzman-Konstante hier keine Bedeutung. Dennoch wird die langfristige durchschnittliche Intensität der Brown'schen Geschwindigkeitsbewegung beobachtet, um von dem Währungspaar abzuhängen, also scheinen sie verschiedene Massen zu zeigen. Die Suche nach der Masse für jedes Währungspaar würde eine gemeinsame Referenz für die Temperatur ermöglichen. Wenn wir die EUR-Masse als 1 nahmen, dann: Die obigen Massen machen eine durchschnittliche Temperatur von ähnlich 300 K, die der Raumtemperatur in der Kelvin-Skala entspricht, was 27 Grad Celsius entspricht. 80,6 Fahrenheit. Aber neben der Fantasie gibt es keinen tieferen Einblick in das Problem. Making (m3K) 1, macht eine Temperatur, die der Varianz der Geschwindigkeiten entspricht. Da die Quadratwurzel der Varianz die Standardabweichung ist, gibt eine solche Temperaturdefinition eine Vorstellung davon, wie intensiv die zufällige Bewegung in Pips ist. Ereigniserkennung und Währungstemperatur Ein Nachrichtenereignis, das den Wert des US-Dollars beeinflusst, kann erkannt werden, wenn sich seine Preise auf den Rest der Hauptwährungen konsequent ändern. Mit anderen Worten, wenn die Rate Bewegungen passieren, um zu korrelieren. (Siehe Anhang A zur Ereignis-Trigger-Berechnung) Ein numerischer Ausdruck dieser Korrelation ist der Durchschnitt der Differenz zu seinem EMA (Exponential Moving Average) über alle Hauptwährungen. Das Problem mit diesem Ansatz ist, dass die signifikanten Währungen zu berücksichtigen sind nicht so viele, eigentlich nur 6 Paare verwendet werden können. Ein Durchschnitt über solch eine kleine Probe ist nicht immun gegen zufällige Bewegung und anfällig für falsche Positives zu machen. Der Nachweis könnte verbessert werden, wenn der Beitrag zum Mittelwert umgekehrt durch die Paarentemperatur nachgedacht wird. Genauer gesagt: durch die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Geschwindigkeitsgeschwindigkeit nachgedacht, die nicht auf die Brownsche Natur der Bewegung zurückzuführen ist. Wenn man wünscht, daß die Geschwindigkeitsverteilung bei Brownschen Bewegungen Gaussian ist, kann in Abwesenheit eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung einer Geschwindigkeit unterhalb eines Wertes V durch die Fläche unter der Gaußschen Wahrscheinlichkeitsdichtekurve berechnet werden: In Worten sagt uns die Kurve: Betrachten das EURUSD-Paar, das typischerweise ein ltVrdm 2 gt von 2,94 Pips Sekunden zeigt, werden Geschwindigkeiten unter diesem Wert 68,2 der Zeit, jenseits nur 31,8 beobachtet. Also, es ist fair zu sagen, dass, wenn eine beobachtete Geschwindigkeit oben ist, sagen wir, 6 ist es sehr unwahrscheinlich (4.4), dass es aus der Zufälligkeit kommt. Der mathematische Ausdruck der Wahrscheinlichkeit einer Geschwindigkeit V, die nicht zufällig ist, ist: p erf ((V 2 ltVrdm 2 gt)) wobei erf (x) als Fehlerfunktion bekannt ist. Der überlegte Korrelations-Durchschnitt wird nun sein: ANHANG A Die Veranstaltung TriggerStrong-Annäherung der fraktionalen Brownschen Bewegung durch bewegte Mittelwerte von einfachen zufälligen Spaziergängen Pl Rvsz anlässlich seines 65. Geburtstages Tams Szabados Abteilung für Mathematik, Technische Universität Budapest, Egry u 20-22 , H p. V em. Budapest, 1521, Ungarn Erhalten am 19. Dezember 1999. Überarbeitet am 29. August 2000. Akzeptiert am 4. September 2000. Verfügbar online 9. Februar 2001. Der fraktionierte Brownsche Antrag ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung, die vor allem dann eingesetzt wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit erforderlich ist. Seine explizite Einführung ist auf Mandelbrot und van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) als selbstähnlicher Gaußscher Prozess W (H) (t) mit stationären Inkrementen zurückzuführen. Hier bedeutet Selbst-Ähnlichkeit, dass, wo H (0,1) der Hurst-Parameter der fraktionalen Brownschen Bewegung ist. F. B. Ritter gab einen Bau von gewöhnlichen Brownschen Bewegungen als eine Grenze von einfachen zufälligen Spaziergängen im Jahr 1961. Später wurde seine Methode von Rvsz (Random Walk in Random und Non-Random Umgebungen, World Scientific, Singapur, 1990) und dann von Szabados (Studia Sci Math. Hung. 31 (1996) 249297). Dieser Ansatz ist ganz natürlich und elementar und kann als solcher auf allgemeinere Situationen ausgedehnt werden. Darauf auf diese Weise verwenden wir gleitende Durchschnitte einer geeigneten verschachtelten Folge von einfachen zufälligen Spaziergängen, die fast sicher einheitlich zu einer fraktionalen Brownschen Bewegung auf kompakten konvergieren, wenn. Die Konvergenzrate ist in diesem Fall bewiesen, wobei N die Anzahl der für die Approximation verwendeten Schritte ist. Wenn die genauer (aber auch komplizierter) Komls et al. (1975,1976) Näherung wird stattdessen verwendet, um zufällige Spaziergänge in gewöhnliche Brownsche Bewegung einzubetten, dann die gleiche Art von sich bewegenden Mitteln fast sicher einheitlich konvergieren auf fraktionale Brownsche Bewegung auf Kompakt für jedes H (0,1). Darüber hinaus wird die Konvergenzrate als bestmöglich vermutet, wenn auch hier nur bewiesen wird. Fraktionale Brownsche Bewegung Pathwise-Konstruktion Starke Annäherung Zufälliger Spaziergang Gleitender Durchschnitt 1 Fraktionale Brownsche Bewegung Die fraktionale Brownsche Bewegung (fBM) ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung (BM), die besonders verwendet wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit von wesentlicher Bedeutung ist. Obwohl die Geschichte von fBM nach Kolmogorov (1940) und anderen zurückverfolgt werden kann, ist ihre ausdrückliche Einführung auf Mandelbrot und van Ness (1968) zurückzuführen. Ihre Absicht war, ein Selbst-ähnliches zu definieren. Zentrierten Gaußschen Prozess mit stationären, aber nicht unabhängigen Inkrementen und mit kontinuierlichen Probenpfaden a. s. Hier bedeutet Selbst-Ähnlichkeit, dass für irgendeine gt0, wobei H (0,1) der Hurst-Parameter des fBM ist und die Gleichheit in der Verteilung bezeichnet. Sie zeigten, dass diese Eigenschaften fBM charakterisieren. Der Fall reduziert sich auf gewöhnliche BM mit unabhängigen Inkrementen, während die Fälle (bzw.) negativ (bzw. positiv) korrelierte Inkremente geben, siehe Mandelbrot und van Ness (1968). Es scheint, dass bei den Anwendungen von fBM der Fall am häufigsten verwendet wird. Mandelbrot und van Ness (1968) gaben die folgende explizite Darstellung von fBM als gleitenden Durchschnitt von gewöhnlichem, aber zweiseitigem BM: wobei t 0 und (x) max (x, 0). Die Idee von (2) bezieht sich auf deterministische Bruchrechnung. Die eine noch längere Geschichte hat als fBM, zurück zu Liouville, Riemann, und andere sehen in Samko et al. (1993). Sein einfachster Fall ist, wenn eine stetige Funktion f und eine positive ganze Zahl gegeben sind. Dann kann eine Induktion mit Integration durch Teile zeigen, dass die Reihenfolge Iteration antiderivative (oder Ordnung Integral) von f ist. Auf der anderen Seite ist dieses Integral auch für nicht-ganzzahlige positive Werte gut definiert, wobei es in diesem Fall ein Bruch-Integral von f genannt werden kann. Also, heuristisch, der Hauptteil von (2), ist das Ordnungsintegral des (im gewöhnlichen Sinn nicht existierenden) weißen Rauschprozesses W (t). Somit kann das fBM W (H) (t) als eine stationäre Inkrement-Modifikation des fraktionalen Integrals W (t) des Weißrauschprozesses betrachtet werden. 2 Random Walk Bauweise der gewöhnlichen Brown'sche Bewegung Es ist interessant, dass eine sehr natürliche und elementare Konstruktion des gewöhnlichen BM als Grenze der zufälligen Spaziergänge (RWs) relativ spät erschien. Die mathematische Theorie von BM begann um 1900 mit den Werken von Bachelier, Einstein, Smoluchowski und anderen. Die erste Existenzkonstruktion wurde von Wiener 1921 und Wiener 1923 gegeben, dem später noch einige andere folgen. Ritter (1961) führte die erste Konstruktion durch zufällige Spaziergänge ein, die später von Rvsz (1990) vereinfacht wurden. Der jetzige Autor war glücklich genug, diese Version des Baues direkt aus Pl Rvsz in einem Seminar an der Technischen Universität Budapest zu hören, ein paar Jahre vor der Veröffentlichung des Buches von Rvszs im Jahr 1990 und wurde sofort davon fasziniert. Das Ergebnis einer weiteren Vereinfachung erschien in Szabados (1996). Von nun an bezieht sich der Ausdruck RW-Konstruktion immer auf die im letzteren erörterte Version. Es ist asymptotisch gleichbedeutend mit der Anwendung von Skorohod (1965) Einbettung, um eine verschachtelte dyadische Sequenz von RWs in BM zu finden, siehe Theorem 4 in Szabados (1996). Als solches hat es einige Vor - und Nachteile im Vergleich zu der gefeierten bestmöglichen Näherung von BM von Teilsummen von Zufallsvariablen mit Momentgeneratorfunktion endlich um den Ursprung. Letzteres wurde von Komls 1975 und Komls 1976 erhalten und wird in der Folge als KMT-Näherung abgekürzt. Die Hauptvorteile der RW-Konstruktion sind, dass es elementar, explizit ist, nur vergangene Werte verwendet, um neue zu konstruieren, in der Praxis einfach zu implementieren und sehr gut geeignet für die Annäherung von stochastischen Integralen, siehe Theorem 6 in Szabados (1996) und auch Szabados ( 1990). Erinnern Sie sich, dass die KMT-Näherung Teilsummen (z. B. eine einfache symmetrische RW) aus BM selbst (oder aus einer i. i.d.-Folge von Standard-Normal-Zufallsvariablen) durch eine komplizierte Folge von bedingten Quantil-Transformationen konstruiert. Um einen neuen Wert zu konstruieren, verwendet er die ganze Sequenz (vergangene und zukünftige Werte). Auf der anderen Seite ist die Hauptschwäche des RW-Aufbaus, dass es eine Konvergenzrate gibt, während die Rate der KMT-Näherung am besten ist, wobei N die Anzahl der im RW berücksichtigten Schritte (Begriffe) ist. In der Folge werden zunächst die Haupteigenschaften der oben erwähnten RW-Konstruktion zusammengefasst. Dann wird diese RW-Konstruktion verwendet, um eine Annäherung ähnlich (2) von fBM zu definieren, indem man die Mittelwerte der RW bewegt. Die Konvergenz und der Fehler dieser Näherung werden als nächstes diskutiert. Als Folge der relativ schwächeren Annäherungseigenschaften der RW-Konstruktion wird die Konvergenz zu fBM nur für etabliert, und die Konvergenzrate ist auch nicht die bestmögliche. Um dies zu kompensieren, diskutieren wir am Ende des Aufsatzes die Konvergenz - und Fehlereigenschaften einer ähnlichen Konstruktion von fBM, die stattdessen die KMT-Approximation verwendet, die für alle H (0,1) konvergiert und deren Konvergenzrate vermutet werden kann Das bestmögliche bei der Annäherung von fBM durch bewegte Mittelwerte von RWs. Die hier zusammengefasste RW-Konstruktion von BM stammt aus Szabados (1996). Wir beginnen mit einer unendlichen Matrix von i. i.d. Zufallsvariablen X m (k), die auf demselben zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Jede Zeile dieser Matrix ist eine Basis für eine Annäherung von BM mit einer bestimmten dyadischen Schrittweite t 2 2 m in der Zeit und einer entsprechenden Schrittweite x 2 m im Raum, dargestellt durch die nächste Tabelle. Der zweite Schritt der Konstruktion ist verdreht. Aus den unabhängigen zufälligen Spaziergängen (d. H. Aus den Zeilen der Tabelle 1) wollen wir abhängige, so dass nach dem Schrumpfen der zeitlichen und räumlichen Schrittgrößen jede aufeinanderfolgende RW eine Verfeinerung der vorherigen wird. Da die räumliche Einheit in jeder aufeinanderfolgenden Zeile halbiert wird, definieren wir Stoppzeiten um T m (0) 0 und für k 0. Dies sind die zufälligen Zeitpunkte, wenn ein RW sogar ganze Zahlen nennt, die sich von dem vorherigen unterscheiden. Nachdem die räumliche Einheit um die Hälfte geschrumpft ist, wird eine geeignete Modifikation dieser RW dieselben Ganzzahlen in der gleichen Reihenfolge wie die vorherige RW besuchen. (Dies ist, was wir eine Verfeinerung nennen). Wir werden hier an jedem Punkt des Probenraums separat arbeiten, dh wir fixieren einen Probenpfad jeder RW, die in Tabelle 1 auftritt. Somit ist jede Brücke S m (T m (k 1)) S m (T m (k)) muss den entsprechenden Schritt X m 1 (k 1) des vorherigen RW nachahmen. Wir definieren verdrehte RWs rekursiv für m 1,2,3, beginnend mit (n 0). Bei jedem festen m gehen wir für k 0,1,2 nacheinander und für jedes n in der entsprechenden Brücke T m (k) lt n T m (k 1). Jede Brücke wird umgedreht, wenn sich ihr Vorzeichen von dem gewünschten unterscheidet (Abb. 1. Abb. 2 und Abb. 3): und dann. Dann ist jeder (n 0) noch ein einfacher, symmetrischer RW siehe Lemma 1 in Szabados (1996). Darüber hinaus haben die verdrehten RWs die gewünschte Verfeinerungseigenschaft: Der letzte Schritt der RW-Konstruktion schrumpft. Die Probenpfade von (n 0) können durch lineare Interpolation auf kontinuierliche Funktionen erweitert werden. Auf diese Weise bekommt man (t 0) für echtes t. Dann definieren wir die m-te Näherung von BM (siehe Abb. 4) durch Vergleich von drei Schritten eines Sample-Pfades der ersten Näherung B 0 (t) und des entsprechenden Teils der zweiten Näherung B 1 (t) in Abb. 1 und Fig. 4. Die zweite besucht dieselben ganzzahligen (anders als die vorherige) in der gleichen Reihenfolge wie die erste, also imitiert die erste, aber die entsprechenden zeitzeitpunkte unterscheiden sich im allgemeinen: 2 2 T 1 (k) k. Ähnlich, (3) impliziert die allgemeine Verfeinerungseigenschaft, aber es gibt eine zeitliche Verzögerung im Allgemeinen. Die Grundidee der RW-Konstruktion von BM ist, dass diese Zeitverzögerungen gleichmäßig klein werden, wenn m groß genug ist. Es kann durch das folgende einfache Lemma nachgewiesen werden. Tabelle 1. Die Anfangseinstellung für die RW-Konstruktion von BM Nicht überraschend bedeutet dies und die Verfeinerungseigenschaft (5) die einheitliche Nähe von zwei aufeinanderfolgenden Approximationen von BM, wenn m groß genug ist. Dieses Lemma sorgt für die a. s. Einheitliche Konvergenz der RW-Näherungen in kompakten Intervallen und es ist klar, dass der Grenzprozess das Wiener-Verfahren (BM) mit kontinuierlichen Probenpfaden fast sicher ist. Theorem 1 Die RW-Näherung a. s. Einheitlich konvergiert zu einem Wiener-Prozess in jedem kompakten Intervall. Für irgendwelche und für alle m m 2 (C) haben wir die oben angegebenen Ergebnisse dem Lemma 2. Lemma 3 und Lemma 4 und Theorem 3 in Szabados (1996). Wir erwähnen, dass die hier vorgestellten Aussagen in etwas schärferer Form gegeben sind, aber sie können leicht aus den Beweisen in der obigen Referenz gelesen werden. 3 Eine wegweisende Annäherung der fraktionalen Brownschen Bewegung Eine nahezu sicher konvergente pfadweise Konstruktion von fBM wurde von Carmona und Coutin (1998) gegeben, die fBM als lineare Funktion eines unendlich dimensionalen Gaußschen Prozesses darstellen. Eine weitere wegweisende Konstruktion wurde von Decreusefond und Stnel 1998 und Decreusefond und Stnel 1999, die im L 2 Sinne konvergiert, gegeben. Diese Konstruktion verwendet diskrete Approximationen der gleitenden Mitteldarstellung von fBM (2). Basierend auf deterministischen Partitionen der Zeitachse. Genauer gesagt, (2) wird durch ein Integral über das kompakte Intervall 0, t ersetzt, aber mit einem komplizierteren Kern, der auch eine hypergeometrische Funktion enthält. Die hier diskutierte Approximation von fBM wird auch eine diskrete Version der gleitenden Mitteldarstellung (2) von fBM sein, aber dyadische Trennwände werden auf der räumlichen Achse von BM aufgenommen und so erhält man zufällige Partitionen auf der Zeitachse. Dies ist asymptotisch eine Skorohod-Typ-Einbettung von verschachtelten RWs in BM. Infolgedessen haben wir anstelle von Integral Summe, und BM wird durch die verschachtelte, verfeinernde Sequenz ihrer RW-Näherungen, die im vorigen Abschnitt diskutiert wurden, ersetzt. Da (2) zweiseitiges BM enthält, brauchen wir zwei solche Sequenzen: eine für die rechte und eine für die linke Halbachse. Von nun an werden wir die folgenden Notationen verwenden: m 0 ist eine ganze Zahl, t 2 2 m. . Bei der Einführung des Kernels ist die mth-Approximation von fBM definitionsgemäß B m (H) (0) 0 und für positive ganze Zahlen k, wobei die Konvention 0 H 12 0 auch für negative Exponenten angewendet wird. Es ist sinnvoll, B m (H) in einer anderen Form zu schreiben, die eine diskrete Version der Integration durch Teile anwendet. Ausgehend von (8) und Umordnen nach B m (tr) erhält man für k 1, dass wir auf diese Weise eine diskrete Version erhalten haben, die man aus (2) mit einer formalen Integration durch Teile erhält (vgl. Lemma 5 unten). Zur Unterstützung der obigen Definition zeigen wir, daß B m (H) Eigenschaften aufweist, die den charakterisierenden Eigenschaften von fBM in einer diskreten Einstellung analog sind. (A) B m (H) ist zentriert (klar aus seiner Definition) und hat stationäre Inkremente. Wenn k 0 und k nichtnegative ganze Zahlen sind, dann ist (b) B m (H) in der folgenden Richtung annähernd selbst ähnlich: Wenn a 2 2 m 0 ist. Wobei m 0 eine ganze Zahl ist, m 0 m. Dann gibt es für jede k nicht-negative Ganzzahl, für die auch ka auch eine ganze Zahl ist. Auf der anderen Seite zeigen Lemma 4 (und Theorem 2) unten, dass B m (H) und B m 1 (H) (und B mn ( H)) sind bei jedem kompakten Intervall gleichmäßig nahe bei beliebiger großer Wahrscheinlichkeit, wenn m groß genug ist (wann). Es könnte in ähnlicher Weise bewiesen werden, dass für eine j. Wobei j 0 eine beliebige ganze Zahl von 2 2 n j 2 2 (n 1) mit einer ganzen Zahl n 0 ist, können die endlichen Dimensionsverteilungen beliebig nahe den endlichen Dimensionsverteilungen von B m n (H) gemacht werden, wenn m groß genug ist. Folglich ist Bm (H) für jede dyadische a j 2 2 m 0 beliebig nahezu selbst ähnlich, wenn m groß genug ist. (C) Für irgendwelche 0lt t 1 ltlt t n. Die Grenzverteilung des Vektors als m ist Gaussian. woher . Diese Tatsache folgt aus Satz 2 (basierend auf Lemma 5) unten, dass der Prozeß B m (H) fast sicher in den Gaußschen Prozeß W (H) in kompakten Intervallen konvergiert. 4 Konvergenz der Annäherung an fBM Zuerst wird gezeigt, dass zwei aufeinanderfolgende Approximationen von fBM, die durch (8) definiert sind. Oder gleichermaßen durch (9). Sind gleichmäßig nah, wenn m groß genug ist, vorausgesetzt, Anscheinend ist die obige RW-Näherung von BM nicht gut genug, um Konvergenz zu haben. Bei der Konvergenz, eine große Abweichung Ungleichung ähnlich Lemma 1 wird eine wichtige Rolle spielen. Ist X & sub1 ;, X & sub2; eine Sequenz von i. d.d. Zufällige Variablen und S r a r X r. Wo nicht alle null sind und dann (siehe z. B. Stroock, 1993, S. 33). Die Summation oben kann sich entweder auf endlich viele oder abzählbar viele Begriffe erstrecken. Wenn also S & sub1 ;, S & sub2 ;,, SN beliebige Summen des obigen Typs sind, kann man folgendes Analogon von Lemma 1 erhalten. Für jedes C gt1 und N & sub1; heißt es daher mit (19) das Ergebnis mit dem Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Wo und C gt1 willkürlich sind. (D) Das Maximum von U m, k. Wir teilen die Halbzeile in Intervalle der Länge L. Wo L 4 K. Für Bestimmtheit wählen Sie L 4 K. Abgesehen davon wird dieser Teil ähnlich zu Teil (b) sein. In der Folge verwenden wir die Konvention, dass, wenn die untere Grenze einer Summation eine reelle Zahl x ist. Die Summation beginnt bei x, und ähnlich, wenn die obere Grenze y ist. Die Summe endet bei y. Nach (17) gibt Lemma 3 eine Obergrenze für die maximale Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Approximationen von BM, wenn j 1 ein beliebiger fester Wert ist: mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 3 (jL 2 2 m) 1 C. Wobei C gt1 beliebig ist und m m 1 (C). Dies bedeutet für alle C 3 und mm 1 (C), dass die obige Ungleichung (24) gleichzeitig für alle j 1,2,3 gilt, mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens für den anderen Hauptfaktor in (23) Binomial Die Reihen werden wie oben angeführt, und v 1: Im zweiten Fall, wenn das obige Verfahren anscheinend eine Konvergenz hier ergibt (genau wie in Teil (b)) nur wenn: für jedes C 3 und mm 1 (C) mit Ausnahme von Ein Satz von Wahrscheinlichkeit höchstens (K 2 2 m) 1 C. Nun kann man die Ergebnisse der Teile (a) (d) kombinieren, siehe (18). (20). (21). (22). (27) und (28). Um die Aussage des Lemmas zu erhalten. Denken Sie daran, dass die Konvergenzrate in den Teilen (a) und (c) schneller ist als die in den Teilen (b) und (d). Beachten Sie insbesondere, dass es einen Faktor m in (b) und (d) gibt, der ein Gegenstück m 12 in (a) und (c) hat. Da in der Aussage dieses Lemmas wir einfach die schnelleren konvergierenden Faktoren durch die langsameren konvergierenden ersetzt haben, können die konstanten Multiplikatoren in (a) und (c) ignoriert werden, wenn m groß genug ist. Es ist einfach, die Formel (9) der m-ten Näherung B m (H) von fBM auf reelle Argumente t durch lineare Interpolation zu erweitern, genau wie im Fall der m-ten Approximation B m (t) des gewöhnlichen BM siehe z. B. In Szabados (1996). So seien m 0 und k 0 ganze Zahlen, 0,1 und definieren. Dann haben die resultierenden kontinuierlichen Parameter-Approximationen von fBM B m (H) (t) (t 0) kontinuierliche, stückweise lineare Probenpfade. Mit dieser Definition sind wir bereit, ein Hauptergebnis dieser Arbeit zu nennen. Wo (H, K) und sind die gleichen wie in Lemma 4. (Der Fall ist nach Satz 1 beschrieben) mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsereignisses höchstens 8 (K 2 2 m) 1 C. Da sowohl B m 1 (H) (t) als auch B m (H) (t) stückweise lineare Probenpfade aufweisen, muss ihre maximale Differenz an den Ecken der Probenpfade auftreten. Sei M m die maximale Zunahme von B m (H) zwischen Paaren von Punkten t k, t k 1 in 0, K: mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsereignisses höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Vgl. (31) unten. Ein Abtastweg von B m 1 (H) (t) macht in jedem Intervall t k, t k 1 vier Schritte. Um seine maximale Abweichung von D m ​​zu berechnen, genügt es, seine Veränderung zwischen dem Mittelpunkt und einem Endpunkt eines solchen Intervalls in zwei Schritten von den linken und rechten Endpunkten abzuschätzen: mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsalters höchstens 2 (K 2 2 (M 1)) 1 C. Also mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsereignisses höchstens. Die obige Erläuterung zeigt, daß zugleich die obere Grenze, die wir gesucht haben, mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsprüfens höchstens (82 32 C) (K 2 2 m) 1 C aussieht. Dann kann ein ähnliches Argument verwendet werden, wie im Beweis von Lemma 4. siehe z. B. Teil (a) dort: Damit N K 2 2 m und C gt1 in (12). Und unter Verwendung von (19) erhält man für m 1 mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Wobei K gt0 und C gt1 beliebig sind. Mit Ausnahme eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit höchstens 8.125 (K 2 2 m) 1 C wobei (H, K) und (H) die gleichen wie in Lemma 4 sind. Denken Sie daran, dass die Konvergenzrate in (31). Wie in den Teilen (a) und (c) des Beweises von Lemma 4. ist schneller als die in den Teilen (b) und (d) dieses Beweises. Abgesehen von konstanten Multiplikatoren hat das Ergebnis von (31) die gleiche Form wie die Ergebnisse von (a) und (c) dort. Da in der Aussage dieses Satzes wir einfach die schnelleren konvergierenden Faktoren durch die langsameren konvergierenden ersetzt haben, können die konstanten Multiplikatoren von (31) ignoriert werden, wenn m groß genug ist. Deshalb ist auch hier das von Lemma 4 definierte (H, K) geeignet. Daraus kann man also durch das BorelCantelli-Lemma implizieren, daß mit der Wahrscheinlichkeit 1 die Probenpfade von B m (H) (t) gleichmäßig zu einem Prozeß W (H) (t) auf jedem kompakten Intervall 0, K konvergieren. Dann hat W (H) (t) stetige Probenpfade und erbt die in Abschnitt 3 beschriebenen Eigenschaften von B m (H) (t). Es handelt sich um einen zentrierten, selbstähnlichen Prozeß mit stationären Inkrementen. Wie Lemma 5 unten impliziert, ist der so definierte Prozess Gaußscher. Daher ist W (H) (t) ein fBM und durch (33) ist die Konvergenzrate der Näherung diejenige, die im Satz angegeben ist. The aim of the next lemma to show that integration by parts is essentially valid for (2) representing W ( H ) ( t ), resulting in a formula similar to (10). Then it follows that can be stochastically arbitrarily well approximated by a linear transform of the Gaussian process , so it is also Gaussian. After the second term on the right-hand side of (37) we turn to the third term. Take now any (0, 0 ). Since h ( s , t ) has continuous partial derivative w. r.t. s on the intervals 1 , and , t and by Theorem 1. B m a. s. uniformly converges to the Wiener process W on these intervals, comparing (35) and (36) shows that with this there exists an m such that Theorem 1 also implies that m can be chosen so that for the fourth term in (37) one similarly has Finally, Theorem 2 (or, with a modified construction, Theorem 3 below) guarantees that m can be chosen so that the first term in (37) satisfies the same inequality: The last four formulae together prove the lemma. 5 Improved construction using the KMT approximation Parts (b) and (d) of the proof of Lemma 4 gave worse rate of convergence than parts (a) and (c), in which the rates can be conjectured to be best possible. The reason for this is clearly the relatively weaker convergence rate of the RW approximation of ordinary BM, that was used in parts (b) and (d), but not in parts (a) and (c). It is also clear from there that using the best possible KMT approximation instead would eliminate this weakness and would give hopefully the best possible rate here too. The price one has to pay for this is the intricate and future-dependent procedure by which the KMT method constructs suitable approximating RWs from BM. The result we need from Komls 1975 and Komls 1976 is as follows. Suppose that one wants to define an i. i.d. sequence X 1 , X 2 , of random variables with a given distribution so that the partial sums are as close to BM as possible. Assume that E ( X k )0, Var ( X k )1 and the moment generating function E (e uX k )lt for . Let S ( k ) X 1 X k . k 1 be the partial sums. If BM W ( t ) ( t 0) is given, then for any n 1 there exists a sequence of conditional quantile transformations applied to W (1), W (2),, W ( n ) so that one obtains the desired partial sums S (1), S (2),, S ( n ) and the difference between the two sequences is the smallest possible: for any x gt0, where C 0 , K 0 , are positive constants that may depend on the distribution of X k . but not on n or x . Moreover, can be made arbitrarily large by choosing a large enough C 0 . Taking here one obtains where n 1 is arbitrary. Fix an integer m 0, and introduce the same notations as in previous sections: . Then multiply the inner inequality in (42) by 2 m and use self-similarity (1) of BM (with ) to obtain a shrunken RW (0 k K 2 2 m ) from the corresponding dyadic values W ( t k ) (0 k K 2 2 m ) of BM by a sequence of conditional quantile transformations so that with the exception of a set of probability smaller than K 0 ( K 2 2 m ) C 0 . for any m 1 and K gt0. Here (19) was used too. Then (43) implies for the difference of two consecutive approximations that for any m 1 and K gt0. This is exactly what we need to improve the rates of convergence in parts (b) and (d) of Lemma 4 . Substitute these KMT approximations into definition (8) or (9) of B m ( H ) ( t k ). This way one can obtain faster converging approximations of fBM. Then everything above in 3 and 4 are still valid, except that one can use the improved formula (44) instead of Lemma 3 at parts (b) and (d) in the proof of Lemma 4. This way, instead of (21) one gets for any m 1, except for a set of probability smaller than 2 K 0 ( K 2 2 m ) C 0 . Also by (44). instead of (24) and (25) one has the improved inequalities: with the exception of a set of probability smaller than 2 K 0 ( jL 2 2 m ) C 0 . where m 1. If C 0 is chosen large enough so that C 0 2, then (46) holds simultaneously for all j 1,2,3, except for a set of probability smaller than (Remember that we chose L 4 K in part (d) of the proof of Lemma 4 .) Then using this in part (d) of Lemma 4. instead of (26) one needs the estimate Then instead of (27) and (28). the improved results are as follows. First, in the case one has for any m 1 and C 0 large enough so that C 0 2, except for a set of probability smaller than given by (47). Now in the case it follows that for any m 1 and C 0 large enough so that C 0 2, except for a set of probability smaller than given by (47) . As a result, there is convergence for any H (0,1). Since the KMT approximation itself has best possible rate for approximating ordinary BM by RW, it can be conjectured that the resulting convergence rates in the next lemma and theorem are also best possible (apart from constant multipliers) for approximating fBM by moving averages of a RW. Proof Combine the results of parts (a) and (c) in the proof of Lemma 4 and the improved inequalities above, that is, apply (18). (20). (45). (22) and (48). and (49). Here too, we simply replace the faster converging factors by the slower converging ones, but the constant multipliers of faster converging terms cannot be ignored, since the lemma is stated for any m 1. Now we can extend the improved approximations of fBM to real arguments by linear interpolation, in the same way as we did with the original approximations, see (29). This way we get continuous parameter approximations ( t 0) for m 0,1,2,, with continuous, piecewise linear sample paths. Now we can state the second main result of this paper. where and are the same as in Lemma 6. ( In other words . in the definition of in Lemma 6 the constant multiplier 10 has to be changed to 20 here .) The constants are defined by the KMT approximation (41) with C 0 chosen so large that C 0 2. The case is described by (43). Proof The proof can follow the line of the proof of Theorem 2 with one exception: the constant multipliers in (31) and consequently in (30) cannot be ignored here. This is why the multiplier of Lemma 6 had to be modified in the statement of the theorem. It can be conjectured that the best rate of approximation of fBM by moving averages of simple RWs is , where N is the number of points considered. Though it seems quite possible that definition of above, see (8) with the KMT approximations , supplies this rate of convergence for any H (0,1), but in Theorem 3 we were able to prove this rate only when . A possible explanation could be that in parts (b) and (d) of Lemma 4 we separated the maxima of the kernel and the integrator parts. As a result, the convergence rate we were able to prove when is the same that the original KMT approximation (43) gives for ordinary BM, where N K 2 2 m . though in this case the sample paths of fBM are smoother than that of BM. (See, e. g. Decreusefond and stnel, 1998 .) On the other hand, the obtained convergence rate is worse than this, but still thought to be the best possible, , when , which heuristically can be explained by the more zigzagged sample paths of fBM in this case. References Carmona and Coutin 1998 P. Carmona. L. Coutin Fractional Brownian motion and the Markov property Elect. Comm. Probab. Volume 3. 1998. pp. 95107 Decreusefond and stnel 1998 Decreusefond, L. stnel, A. S. 1998. Fractional Brownian Motion: Theory and Applications. Systmes Diffrentiels Fractionnaires, ESAIM Proceedings 5, Paris, pp. 7586. Decreusefond and stnel 1999 L. Decreusefond. A. S. stnel Stochastic analysis of the fractional Brownian motion Potential Anal. Volume 10. 1999. pp. 174214 Feller 1966 W. Feller An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. II. 1966. Wiley, New York Knight 1961 F. B. Knight On the random walk and Brownian motion Trans. Amer. Math. Soc. Volume 103. 1961. pp. 218228 Kolmogorov 1940 A. N. 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